• vestingalumni.nl
• devesting.nl
• foreigntrip.nl
• vestingconference.nl
• vestingcareerday.nl
• vestingintroductie.nl

Gokt u mee?

Door Thijs Vermaat en Ruud H. Koning¹

Vijfentwintig augustus is in de Verenigde Staten de Jackpot van de Powerball Lottery gevallen. De eigenaars van vier loten moeten samen $295 miljoen delen, naar keuze $41 miljoen ineens, of vijfentwintig jaarlijkse annuïteiten van $2,9 miljoen. De vier winnaars hebben dus elk 100 miljoen gulden gewonnen, en dat is natuurlijk een droom van velen.

Nederlanders hebben ook de mogelijkheid om de Jackpot van de Lotto te winnen. In juni 2000 zijn de spelregels van de Lotto veranderd: het cijferspel is veranderd in de Euroloterij en de Jackpot is verhoogd tot minimaal 4 miljoen gulden. De kans om de Jackpot van de Powerball Lottery in de VS te winnen was ongeveer 1 op 80 miljoen, ofwel 125x10^-10%. In het vervolg van dit artikel zullen we nagaan of het ook mogelijk is om in Nederland zo’n grote prijs te winnen, en wat de kans is op een dergelijk bedrag.

Hoewel de verwachte opbrengst van deelname aan de Lotto negatief is (dit wordt later gekwantificeerd), worden voor elke trekking toch veel loten verkocht. De Lotto besteedt minimaal 47,5% van de inleg aan prijzen, de rest wordt uitgekeerd aan goede doelen. Het gaat echter te ver om deelname aan de Lotto te verklaren uit altruïsme van de deelnemers. Economische theorie biedt slechts een beperkte basis om de deelname aan de Lotto te verklaren. Empirisch onderzoek verwerpt echter het verwachte nutsmodel voor keuze onder onderzekerheid. Mensen zijn bereid om te een klein beetje te betalen voor de droom dat ze in één keer veel geld winnen. Men ontleent nut aan deze spanning en dat verklaart de deelname².

De Nederlandse Lotto (met Jackpot) wordt als volgt gespeeld. Deelnemers vullen een formulier in, waarop ze zes getallen (tussen 1 en 45) en een kleur kiezen. Het is ook mogelijk om een formulier te kopen waarop reeds zes getallen en een kleur zijn voorgedrukt. Onder notarieel toezicht vindt vijf keer per maand de trekking plaats. Er worden zes ballen getrokken uit een kom met 45 ballen, zonder teruglegging. Vervolgens wordt een extra bal uit de 39 resterende ballen getrokken, de zogenaamde ‘Bonusbal’. Tenslotte wordt uit een andere kom één gekleurde bal uit 36 ballen getrokken. In deze kom zitten zes ballen van elke kleur. Een speler wint de Jackpot, als hij alle zes ballen in willekeurige volgorde goed heeft ingevuld op zijn formulier, en de kleur van de laatst getrokken bal juist is.

Men kan twee verschillende soorten loten kopen voor de Lotto. Het ene soort kost één gulden, en hiermee kan men niet meedingen naar de Jackpot. Het andere lot kost fl. 1,50, en daarmee doet men wel mee voor de Jackpot. In Tabel 1 staan de uitbetalingen voor de verschillende prijzen. De Jackpot is een prijs van minimaal 4 miljoen gulden, die dus wordt uitgekeerd als alle zes getallen en de kleur goed zijn ingevuld. Als er meerdere winnaars zijn, dan wordt de Jackpot door de winnaars gelijkelijk gedeeld (dit geldt ook voor de eerste, tweede, en derde prijs). Als de Jackpot in een bepaalde week niet wordt uitgekeerd, dan blijft deze staan voor de volgende trekking. Tevens wordt de Jackpot verhoogd met 500 duizend gulden. Dit herhaalt zich tot de 60e trekking. Als de Jackpot dan nog niet is gevallen, wordt hij zeker uitgekeerd tijdens de 61e trekking (eventueel aan iemand die bijvoorbeeld alle zes getallen goed heeft gekozen, maar de kleur niet juist heeft). Uit de tabel blijkt dat de kans om een willekeurige prijs te winnen 17,5% is, dat is bijna één op vijf. Uiteraard zijn de kansen op ‘kleine’ prijzen veel groter dan de kansen op ‘grote’ prijzen, en die ‘kleine’ prijzen hoeven dan ook niet te worden gedeeld als er meerdere winnaars zijn. De verwachte uitbetaling op een lot van fl. 1,50 is 63 cent, en die van een één -gulden lot is 35 cent.

In de ‘oude’ Lotto werden alleen één-gulden loten verkocht, en die hadden als verwachte opbrengst 31 cent. Het spel is dus aantrekkelijker geworden voor de deelnemers. De verwachte uitkering per lot is lager dan het uitkeringspercentage van de totale inleg, dat circa 50% is. De reden hiervoor is, is dat met een kleine, maar niet te verwaarlozen kans, de Jackpot en de eerste drie prijzen moeten worden gedeeld tussen meerdere winnaars.

De lottomachine trekt de balletjes aselect: elke bal heeft een even grote kans om getrokken te worden als een andere bal. Het is discutabel of de deelnemers het formulier ook aselect invullen: vaak gebruiken mensen hun huisnummer, hun geboortedatum, de leeftijd van de kinderen, en andere gemakkelijke getallen om de lotto in te vullen. De Belgische wiskundige Constales³ heeft beargumenteerd dat grosso modo lagere nummers populairder zijn dan hogere nummers. Dat betekent dat als de hoofdprijs op een reeks met lage nummers valt, het waarschijnlijker is dat meerdere mensen dat rijtje hebben ingevuld, en dus dat zij de prijs moeten delen. Analyse van de kansen om de lotto te winnen wordt echter zeer complex als men rekening houdt met het invulgedrag van de deelnemers, dus wij gaan er van uit dat de deelnemers hun rijtjes op strikt toevallige wijze invullen.

De kans om in een bepaalde trekking de Jackpot te winnen, is dus 2,046x10^-8, dat is ongeveer één op 49 miljoen. Dit betekent dat als elke inwoner van Nederland drie loten zou kopen, en deze willekeurig zou invullen, men kan verwachten dat de Jackpot valt op één lot. Dieker en Tijms schatten op ingenieuze wijze het aantal loten dat deelneemt aan een trekking van de Lotto, dat aantal is ongeveer 3,2 miljoen⁴. Als we dat als uitgangspunt nemen, kunnen we uitrekenen dat de kans dat de Jackpot valt tijdens een trekking slechts 6,3% is. Het is dus erg waarschijnlijk (met kans 93,7%) dat de Jackpot niet valt, en dus wordt verhoogd en blijft staan voor de volgende trekking. Sterker nog, met kans 2% groeit de Jackpot aan tot het maximum van 34 miljoen gulden, en valt deze pas na 61 trekkingen. Indien een deelnemer aan de lotto zich niet laat leiden door de hoogte van de Jackpot, en op een willekeurig moment aan de Lotto mee doet, is de gemiddelde hoogte van de Jackpot 11,2 miljoen gulden. Dat is dus aanzienlijk meer dan het minimumbedrag van 4 miljoen gulden. Naar verwachting duurt het zo’n zestien weken voordat de Jackpot valt.

Zijn er nu slimme strategiën te bedenken die leiden tot een hogere verwachte uitbetaling van de Lotto? Volgens Dierker en Tijms wordt circa 50% van het ingelegde geld uitbetaald aan prijzen: de Lotto is op lange termijn een verliesgevende instelling voor iemand die altijd mee doet. Echter, stelt u zich eens dat Tyche u een handje helpt en er gedurende 60 trekkingen geen Jackpot valt. U weet dan zeker dat in de eerstvolgende trekking de Jackpot van 34 miljoen gulden wel zal vallen. Als het aantal verkochte loten voor die trekking nu meer dan vervijfvoudigt tot 16 miljoen (elke Nederlander een lot), is de verwachte uitbetaling op een lot toch nog altijd fl. 1,83.

De kleine kansen in dit artikel hoeven voor de lezer geen enkele belemmering te zijn om deel te nemen aan de lotto. Veel mensen ontlenen plezier aan deelname aan de Lotto, en een deel van de inleg komt ten goede aan charitatieve instellingen. Gebeurtenissen met kleine kans treden echt op: een inwoner uit Zeist won eerder dit jaar 1 miljoen gulden in de Postcode Loterij Miljoenenjacht, om begin september nog eens mee te doen en een hoofdprijs van 10 miljoen gulden te winnen.